Articles

9.3:칸토어의 정리와 그 결과

개발 기술

  • 칸토어의 정리 설명

칸토어가 두 가지 유형의 무한대(셀 수있는 것과 셀 수없는 것)가 있음을 보여 주었을 때,다음 질문은”셀 수없는 모든 세트가 동일한 카디널리티를 가지고 있습니까?”

모든”개가 아닌”고양이가 아닌 것처럼,셀 수없는 모든 세트가 같은 크기 여야한다고 믿을 이유가 없습니다. 그러나 다른 크기의 셀 수없는 세트를 구성하는 것은 소리만큼 쉬운 일이 아닙니다.

예를 들어,구간\(\)으로 표현되는 선분과 집합\(2)으로 표현되는 사각형은 어떻습니까? 확실히 2 차원 사각형은 1 차원 선분보다 더 큰 무한 집합이어야합니다. 놀랍게도 칸토어는이 두 세트가 동일한 카디널리티라는 것을 보여주었습니다. 그의 친구와 동료 수학자,리처드 데데킨트,심지어 칸토어에게이 결과의 그의 1877 서신 있음,”나는 그것을 볼 수 있지만,나는 그것을 믿지 않아!”

그림 9.3.1.다음은 칸토어의 증명에 대한 원래의 아이디어를 제공합니다. 칸토어는 다음과 같은 기능을 고안했다.\ 먼저,우리는 어떤 점의 좌표를 나타냅니다\((엑스,와이)와이\)그들의 십진수 표현으로\(엑스=0.2015 년 11 월 23 일…(1)과(1)과(1)과(1)과(1)과2015 년 11 월 23 일….\)우리가\(0.5=0.5000 을 쓸 수 있기 때문에 종료 소수조차도 이런 식으로 쓸 수 있습니다….\)우리는 다음을 정의 할 수 있습니다\(에프(엑스,와이)\)에 의해

\

이 비교적 간단한 아이디어는 다음과 같은 결과와 관련된 몇 가지 기술적 인 어려움을 가지고 있습니다.

연습 문제\(\페이지 색인{1}\)

순서를 고려\((0.9,0.99,0.999,…)\). 이 시퀀스가 수렴하고 실제로\(1\)로 수렴하는지 확인하십시오. 이것은\(0.999… = 1\).

마찬가지로\(0.04999… = 0.05000…\)등 \(\)에서 실수의 10 진수를 고유하게 표현하려면 끝내는 10 진수를 0 의 무한 문자열 또는 9 의 무한 문자열로 끝내는 것으로 일관되게 선택해야합니다. 우리가 어떤 선택을 하든,우리는 이 기능을 절대 할 수 없습니다. 예:\(109/1100=0.09909090…\)는 사전 이미지\((0.0999 입니다…,0.9000…)\)는 두 가지 규칙을 혼합 한 것입니다.

칸토어는이 전문성을 극복하여 일대일 대응을 입증 할 수 있었지만,대신 우리는 어느 협약에서든 함수는 일대일이라는 점에 유의할 것입니다. 이 같은 카디널리티를 가지고 있다는 사실은 우리가 다시 올 것입니다. 그러나 먼저 우리는 같은 카디널리티를 가지고 있지 않은 셀 수없는 세트를 구성하려고합니다. 이 문제를 해결하기 위해 칸토어는 1891 년에 다음을 증명했습니다.

정리\(\페이지 색인{1}\): 칸토어의 정리

하자\(에스\)임의의 집합. 그리고\(에스\)와\(피(에스)\)사이에 일대일 대응이 없으며\(에스\)의 모든 하위 집합 집합입니다.

\(에스\)의 하위 집합과 일대일 대응에 넣을 수 있기 때문에\(피(에스)(\{ㅏ\})\),그러면\(피(에스)\)는 적어도\(에스\)만큼 큽니다. 유한 경우\(|피(에스)|\)는 다음 문제와 같이\(|에스/\)보다 엄격하게 큽니다. 또한 왜\(피(에스)\)의 전원 집합이라고\(에스\).

연습 문제\(\페이지 색인{2}\)

증명: 이 문제를 해결하기 위해 몇 가지 방법이 있습니다… 2015 년 11 월 요소 간의 다음 대응을 고려하십시오\(피(에스)\)및 집합\(티\)의 모든\(엔\)-튜플 예(\(와이\))또는 아니오(\(엔\)):

\

얼마나 많은 요소가\(티\)에 있습니까?

연습 문제\(\페이지 색인{3}\)

칸토어의 정리를 증명하십시오.

힌트

모순에 대해 일대일 대응\(에프:에스 에스 피(에스)\)이 있다고 가정합니다. 이 문제를 해결하는 데 도움이되는 몇 가지 방법이 있습니다. 이후\(f\)에서 내려다보이는 아름다운,그럼 거기\(a∈A\)등\(A=f(a)\). 이 질문에 대한 답변은 다음과 같습니다.

실제로는 밝혀\(\mathbb{R}\)및\(P(\mathbb{N})\)동일한 카디널리티. 이것은 연습\(\페이지 색인{2}\)에서 위의 아이디어 중 일부를 사용하여 원형 교차로에서 볼 수 있습니다. 특히,하자\(티\)모든 시퀀스의 집합이 0 또는 1(사용할 수 있습니다\(와이\)에스 또는\(엔\)에스,원하는 경우). 그런 다음\(티\)와\(피(\매스티\엔})\)가 동일한 카디널리티를 갖는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

우리가 고려한다면\((0,1]\),같은 카디널리티를 가지고\(\매티}\),우리는 이것이 같은 카디널리티를 가지고 있음을 알 수 있습니다.\(티\)뿐만 아니라. 특히,우리가 이진수로 숫자를 생각한다면,\(\)의 모든 실수는\(\합계_{제이=1}^{2^제이}=(=1,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2,=2, 우리는 사실을 설명해야 같은 이진 표현\(0.0111…\)및\(0.1000…\)같은 실수를 나타냅니다(아무 표현도 0 의 무한 문자열로 끝나지 않을 것이라고 말함),우리는\(\)와 동일한 카디널리티를 가지고 있음을 알 수 있습니다.\(티-유\),여기서\(유\)는 무한 0 의 문자열로 끝나는 모든 시퀀스의 집합입니다. 그것은 밝혀\(유\)자체는 셀 수있는 집합입니다.

연습 문제\(\페이지 색인{4}\)

예를 들면 다음과 같습니다… 이 문제를 해결하려면 다음 단계를 수행하십시오.+2} = ··· = 0\}\). 각\(엔\),\(엔\)는 유한하고이를 사용하여\(유\)는 셀 수 없을 정도로 무한하다는 결론을 내립니다.

다음 두 가지 문제는 셀 수 없는 집합에서 셀 수 있는 집합을 삭제해도 카디널리티가 변경되지 않는다는 것을 보여줍니다.

연습 문제\(\페이지 색인{5}\)

하자\(에스\)무한 세트. 증명하다\(에스\)셀 수없이 무한한 하위 집합이 포함되어 있습니다.

연습 문제\(\페이지 색인{6}\)

이 집합은 무한 집합이 아닌 무한 집합입니다.이 집합은 무한 집합이 아닌 무한 집합입니다. 증명하다\(엑스\)과\(엑스-와이\)같은 카디널리티를 가지고 있습니다.100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 만약\(엑스-와이 _0\)이 무한 집합 인 경우 이전 문제에 의해 셀 수없이 많은 무한 집합이 포함되어 있습니다.\(와이 _1\). 또한 무한 집합이 포함되어 있습니다.\(와이 _2\). 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합이 무한 집합 인 경우 무한 집합입니다. 에 대한\(엔=1,2,3,…이 경우,1 대 1 의 대응으로 정의 할 수 있습니다.

\

표시\(에프\)는 일대일 과 위에.

위의 문제는\(아르 자형\),\(티\),\(티\)및\(피(엔)\)모두 동일한 카디널리티를 갖습니다.

전에 지시 된 바와 같이,무한 세트에 칸토어의 작품은 20 세기 초에 수학에 지대한 영향을 미쳤다. 예를 들어,칸토어의 정리의 증거를 검토,저명한 논리 학자 버트 랜드 러셀은 1901 년 그의 유명한 역설을 고안했다. 이 시간 이전에는 집합이 순진하게 단지 개체 모음으로 생각되었습니다. 칸토어와 다른 사람의 작업을 통해,세트 수학 연구의 중심 대상이되고있다 많은 수학적 개념 세트의 관점에서 재구성되고 있었다. 아이디어는 이론을 설정 수학의 통일 테마가 될했다. 이 역설은 수학적 세계를 귀에 설정했습니다.

러셀의 역설

자신의 요소가 아닌 모든 집합의 집합을 고려하십시오. 우리는이 세트를 호출\(디\)그리고 물어,”이다\(디 디\)디\)?”상징적으로 이 설정은

\

면\(D∈D\)에 의해 다음,정의,\(D\지{∈}D\). 경 D6∈D,다음에 의해 정의,\(D∈D\).

칸토어의 정리에 대한 증거를 되돌아 보면,이것은 기본적으로 우리에게 모순을 준 아이디어였습니다. 이러한 모순이 수학의 가장 기본적인 수준에서 발생하는 것은 스캔들했다. 그것은 수학자 및 논리 학자의 숫자를주의 깊게 집합을 구성 할 수있는 공리를 고안하도록 강요했다. 솔직히 말해서,대부분의 수학자들은 우리가 일반적으로 다루는 세트가”일반 세트”라고 부르는 범주에 속하기 때문에 여전히 순진한 관점에서 세트 이론에 접근합니다.”사실,그러한 접근 방식은 공식적으로 순진한 집합 이론(공리 집합 이론과 반대)이라고합니다. 그러나 집합 이론과 논리를 견고한 발판으로 삼으려는 시도는 상징적 논리에 대한 현대적인 연구와 궁극적으로 컴퓨터(기계)논리의 설계로 이어졌습니다.

칸토어의 작업이 현대 논리에 깊은 영향을 미친 또 다른 장소는 우리가 전에 언급 한 것에서 비롯됩니다. 우리는 전에 단위 제곱\(제곱\)이 셀 수없는 하위 집합과 동일한 카디널리티를 가졌음을 보여주었습니다. 사실,칸토어는 단위 광장과 같은 카디널리티를 가지고 있음을 보여 주었다\(\매티비\\)자체와 1878 년에 다음을 사전에 이동했다.

추측(연속체 가설)

모든 셀 수 없는 하위 집합\(\매스비{아르 자형}\)와 같은 카디널리티를 갖는다.

칸토어는이 추측을 증명하거나 반증 할 수 없었습니다(다른 모든 수학자와 함께). 사실,증명 또는 연속체 가설 새로 녹음 된이 추측을 반증,힐베르트의 유명한\(23\)문제 1900 년 국제 의회 수학자의 수학자에게 도전으로 제시했다.따라서 연속체 가설은 다음과 같이 일반화되었다.:

추측(일반화 된 연속체 가설)

무한 집합이 주어지면\(에스\)의 카디널리티를 엄격하게 가진 무한 집합이 없습니다.

이것을 증명하거나 반증하려는 노력은 헛되고 정당한 이유가 있었다. 1940 년,논리학자 커트 지 제 1234 호는 연속체 가설이 집합 이론 1 의 체르멜로-프레인켈 공리에서 반증될 수 없다는 것을 보여주었다. 1963 년 폴 코헨은 체르멜로-프레인켈 공리를 사용하여 연속체 가설을 입증 할 수 없다는 것을 보여주었습니다. 즉,체르멜로-프레인켈 공리는 가설의 진실을 결정하기에 충분한 정보를 포함하지 않는다.

우리는 이 시점에서 당신의 머리가 불확실성으로 조금 수영하고 있을지도 모른다는 것을 내기하게 기꺼이 합니다. 만약 그렇다면,이것들이 수학 공동체가 20 세기 중반에 경험했던 것과 같은 감정이라는 것을 알아라. 과거에는 수학은 논리적 확실성의 모델로 여겨졌다. “결정할 수없는 진술이 있다는 것을 발견하는 것은 당황 스럽습니다. 1931 년에 산술 공리를 포함하는 일관된 유한 공리 시스템은 항상 그 공리와 함께 진실이나 거짓으로 입증 될 수없는 결정 불가능한 진술을 포함한다는 것을 증명했습니다. 수학적 지식은 항상 불완전합니다.

그림 9.3.2.그래서 미적분학의 기초를 견고한 토대 위에 놓음으로써 우리는 결코 수학적 확실성을 얻을 수 없는 지점에 이르렀다. 이것은 우리가 우리의 손을 던져 패배를 인정해야한다는 것을 의미합니까? 우리는 무엇이든을 해보기의 공포에 마비시켜야 하는가? 확실히 아닙니다! 우리가 전에 언급 한 바와 같이,대부분의 수학자는 실용적인 접근 방식을 취함으로써 잘:그들이 발생하는 문제를 해결하기 위해 자신의 수학을 사용하여. 사실,그것은 일반적으로 수학 동기를 부여 하는 문제. 그것은 수학자가 항상 밖으로 이동하지 않는 기회를 사실이지만,그들은 여전히 성공,종종 이러한 기회를. 성공이 더 많은 질문으로 이어질 때조차도,일반적으로 그렇듯이 이러한 질문을 다루는 것은 일반적으로 더 깊은 이해로 이어집니다. 적어도 우리의 불완전한 이해는 우리가 항상 대답 할 질문이 더 많고 해결해야 할 문제가 더 많다는 것을 의미합니다.

수학자는 또 무엇을 요구할 수 있습니까?