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9.3:カントールの定理とその結果

開発するスキル

  • カントールの定理を説明する

Cantorが2つのタイプの無限大(可算と非可算)があることを示した後、次の質問は自然なことでした、「すべての非可算集合は同じ基数を持っていますか?”

すべての”非犬”が猫であるわけではないように、無計画なセットがすべて同じサイズでなければならないと信じる理由はありません。 しかし、さまざまなサイズの無数のセットを構築することは、それが聞こえるほど簡単ではありません。たとえば、区間\(\)で表される線分と、集合\(×=\{(x,y)|0≤x,y≤1\}\)で表される正方形についてはどうでしょうか。 確かに、二次元の正方形は、一次元の線分よりも大きな無限集合でなければなりません。 驚くべきことに、Cantorはこれら2つのセットが同じ基数であることを示しました。 彼の友人と仲間の数学者、リチャードDedekindへのこの結果の彼の1877年の対応では、カントールでさえ、”私はそれを見るが、私はそれを信じていない!”

図9.3.1.png

図\(\PageIndex{1}\):Richard Dedekind

以下は、Cantorの証明の元のアイデアを与えます。 カントールは次のような関数\(f:×→\)を考案した。 まず、任意の点\((x,y)∈×\)の座標を10進表現\(x=0.a_1a_2a_3…\)と\(y=0.b_1b_2b_3….\)終端の小数でも、\(0.5=0.5000と書くことができるので、このように書くことができます。…次に、\(f(x,y)\)を次のように定義できます

\

この比較的単純なアイデアは、次の結果に関連して、いくつかの技術的な困難を抱えています。

運動\(\PageIndex{1}\)

シーケンスを考えてみましょう\((0.9,0.99,0.999,…)\). このシーケンスが収束し、実際には\(1\)に収束することを決定します。 これは、\(0.999… = 1\).

同様に、\(0.04999… = 0.05000…\)など。 \(\)の実数の10進数表現を一意にするには、終端の10進数を無限のゼロの文字列または無限の9の文字列で終わるものとして書くという一貫した選択をしなければなりません。 私達が作る選択に関係なく、私達は決してこの機能をに作ることができませんでした。 たとえば、\(109/1100=0.09909090。..\)はその前の画像として\((0.0999…,0.9000…)\)これは2つの規則の組み合わせになります。Cantorはこの専門性を克服して1対1の対応を示すことができましたが、代わりに、どちらの規約でも関数は1対1であることに注意してください。\(x\)は\(\mathbb{R}\)のある(数えられない)部分集合と同じ基数であることを示しています。 これが\(\mathbb{R}\)と同じ基数を持つという事実は、私たちが戻ってくるものです。 しかし、まず、\(\mathbb{R}\)と同じ基数を持たない無数の集合を構築しようとします。 この問題に対処するために、Cantorは1891年に次のことを証明しました。

定理\(\PageIndex{1}\): Cantor’S Theorem

\(S\)を任意の集合とする。 したがって、\(S\)と\(P(S)\)の間には、\(S\)のすべての部分集合の集合である1対1の対応はありません。\(S\)は\(P(S)(A→\{a\})\)の部分集合と一対一の対応関係に入れることができるので、これは\(P(S)\)が少なくとも\(S\)と同じ大きさであることを意味する。\(S\)は\(S\)と同じ大きさであることを意味する。 有限の場合、\(|P(S)|\)は厳密に\(|S|\)よりも大きくなります。 また、\(P(S)\)が\(S\)のべき乗集合と呼ばれる理由も示しています。

運動\(\PageIndex{2}\)

証明する: \(|S|=n\)の場合、\(|P(S)|=2n\)

ヒント

ましょう\(S=a_1,a_2,…,a_n\)。 \(P(S)\)の要素とyes(\(Y\))またはno(\(N\)のすべての\(n\)タプルの集合\(T\)との間の次の対応を考えてみましょう\)):

\

\(T\)にはいくつの要素がありますか?

運動\(\PageIndex{3}\)

カントールの定理を証明する。

ヒント

矛盾のために、一対一の対応\(f:S→P(S)\)があると仮定します。 Consider A=\{x∈S|x\not{ε}f(x)\}Considerを考えてみましょう。 \(F\)は上にあるので、\(a=f(a)\)となるような\(a∈A\)が存在する。 は\(A\)であるか\(a\not{ε}A\)であるか? 実際には、\(\mathbb{R}\)と\(P(\mathbb{N})\)は同じ基数を持つことがわかります。 これは、上記の演習\(\PageIndex{2}\)のアイデアのいくつかを使用して、回り道で見ることができます。 具体的には、\(T\)をゼロまたは1のすべてのシーケンスのセットとします(必要に応じて\(Y\)sまたは\(N\)sを使用できます)。 次に、\(T\)と\(P(\mathbb{N})\)が同じ基数を持つことを確認するのは簡単です。\(\Mathbb{R}\)と同じ基数を持つ\((0,1]\)を考えると、これも\(T\)と同じ基数を持つことがわかります。 具体的には、2進数で数値を考えると、\(\)のすべての実数は\(\sum_{j=1}.{\infty}\frac{a_j}{2^j}=(a_1,a_2,\cdots)\)と書くことができます。\(a_j∈\{0,1\}\)。 我々は、\(0.0111のようなバイナリ表現があるという事実を考慮する必要があります。..\)と\(0.1000…\)は同じ実数を表します(無限のゼロの文字列で終わる表現はないとします)。\(\)は\(T-U\)と同じ基数を持つことがわかります。\(U\)は無限のゼロの文字列で終わ それは\(U\)自体が可算集合であることが判明しました。

運動\(\PageIndex{4}\)

Let U_N=\{(a_1、a_2、a_3、…∈a_{n+1}=a_{n+1}∈と∈a_{n+1}=a_{n+1}∈となる。+2} = ··· = 0\}\). 各\(n\)に対して、\(U_N\)は有限であることを示し、これを使って\(U\)は可算無限であると結論づけます。

次の二つの問題は、数えられない集合から数えられない集合を削除してもその基数は変わらないことを示しています。

運動\(\PageIndex{5}\)

\(S\)を無限集合とする。 \(S\)が可算無限部分集合を含むことを証明する。

運動\(\PageIndex{6}\)

\(X\)が無限集合であり、\(Y∈X\)が無限大であると仮定します。 \(X\)と\(X-Y\)の基数が同じであることを証明します。

ヒント

ましょう\(Y=Y_0\). \(X-Y_0\)が無限集合であれば、前の問題では無限集合\(Y_1\)が含まれています。 同様に、\(X-(Y_0≤Y_1)\)が無限大の場合、無限集合\(Y_2\)も含まれます。 繰り返しになりますが、\(X-(Y_0≤Y_1≤Y_2)\)が無限集合である場合、無限集合\(Y_3\)などが含まれます。 \(N=1,2,3,…,…)に対して..f_n:Y_{n-1}→Y_N\)を1対1の対応とし、\(f:X→X-Y\)を次のように定義します。

\

\(f\)が1対1であることを示します。上記の問題は、\(R\)、\(T-U\)、\(T\)、および\(P(N)\)がすべて同じ基数を持つことを示しています。

前に示されたように、無限集合に関するカントールの研究は、20世紀の初めに数学に大きな影響を与えました。 例えば、カントールの定理の証明を調べる際に、著名な論理学者バートランド・ラッセルは1901年に彼の有名なパラドックスを考案した。 この時間の前に、セットは単純にオブジェクトの単なるコレクションとして考えられていました。 多くの数学的概念は、セットの面で再定式化されていたとして、カントールと他の人の仕事を通じて、セットは数学の研究の中心的な対象となっていた。 その考えは、集合論が数学の統一的なテーマであるということでした。 このパラドックスは、その耳に数学の世界を設定します。

ラッセルのパラドックス

それ自身の要素ではないすべての集合の集合を考えてみましょう。 この集合を\(D\)と呼び、”は\(D≤D\)ですか?”象徴的に、このセットは

\

もし\(D∈D\)ならば、定義により、\(D\not{ε}D\)となる。 D6≤Dの場合、定義により、\(D≤D\)となる。

カントールの定理の証明を振り返ってみると、これは基本的に私たちに矛盾を与えたアイデアでした。 このような矛盾を数学の最も基本的なレベルで発生させることはスキャンダラスでした。 それは数学者や論理学者の数を慎重にセットを構築することができる公理を考案することを余儀なくされました。 正直に言うと、ほとんどの数学者は、私たちが通常扱う集合が「通常の集合」と呼ぶもののカテゴリに分類されるため、素朴な観点から集合論にアプローチ「実際、そのようなアプローチは正式に(公理的集合論とは対照的に)素朴な集合論と呼ばれています。 しかし、集合論と論理を強固な基盤に置く試みは、現代の象徴的論理学の研究、そして最終的にはコンピュータ(機械)論理の設計につながった。

カンターの作品が現代の論理に深い影響を与えたもう一つの場所は、私たちが以前に言及したものから来ています。 単位平方\(×\)が\(\mathbb{R}\)の無計画な部分集合と同じ基数を持つことを前に示しました。 実際、Cantorは単位平方が\(\mathbb{R}\)自体と同じ基数を持つことを示し、1878年に次のことを進めるために移動しました。 \(\Mathbb{R}\)のすべての非可算部分集合は、\(\mathbb{R}\)と同じ基数を持ちます。\(\mathbb{R}\)のすべての非可算部分集合は、\(\mathbb{R}\)と同じ基数を持ちます。\(\mathbb{R}\)は、\(\mathbb{R}\)と同じ基数を持ちます。\(\mathbb{R}\)は、\(\mathbb{R}\)と同じ基数を持ちます。\(\mathbb{R}\)

Cantorは(他のすべての数学者とともに)この推測を証明または反証することができませんでした。 実際には、連続体仮説と呼ばれたこの予想を証明または反証することは、1900年の国際数学者会議で数学者への挑戦として提示されたヒルベルトの有名な\(23\)問題の一つであった。\(\Mathbb{R}\)は\(P(N)\)と同じ基数を持つので、連続体仮説は次のように一般化されます。:

無限集合\(S\)が与えられたとき、\(S\)とその冪集合\(P(S)\)の間に厳密に基数を持つ無限集合は存在しない。\(P(S)\)が\(P(S)\)の冪集合であるとき、\(P(S)\)が\(P(S)\)の冪集合であるとき、\(P(S)\)が\(P(S)\)の冪集合であるとき、\(P(S)\)が\(

これを証明または反証する努力は無駄であり、正当な理由がありました。 1940年、論理学者クルト・ゲーデルは、連続体仮説は集合論1のゼルメロ=フレンケル公理から反証できないことを示した。 1963年、Paul Cohenは連続体仮説がツェルメロ=フレンケルの公理を用いて証明できないことを示した。 言い換えれば、Zermelo-Fraenkel公理には、仮説の真実を決定するのに十分な情報が含まれていません。

この時点で、君の頭は不確実性で少し泳いでいるかもしれないと賭けている。 もしそうなら、これらは数学的なコミュニティが二十世紀半ばに経験したのと同じ感情であることを知っています。 過去には、数学は論理的確実性のモデルと見なされていました。 それは”決定不能である文があることを見つけるために当惑しています。 実際、ゲーデルは1931年に、算術の公理を含む一貫した有限公理システムには、それらの公理で真でも偽でも証明できない決定不能な文が常に含まれていることを証明した。 数学的知識は常に不完全です。

図9.3.2.png

図\(\PageIndex{2}\):Kurt Gödel

したがって、微積分の基礎をしっかりとした地面に置こうとすると、数学的確実性を得ることができない点に達しました。 これは私達が私達の手を投げ、敗北を認めるべきであることを意味するか。 私たちは何かをしようとする恐れで麻痺する必要がありますか? 確かにない! 前に述べたように、ほとんどの数学者は実用的なアプローチを取ることによってうまくいく:彼らが遭遇する問題を解決するために彼らの数学を使 実際には、それは典型的には数学をやる気にさせる問題です。 数学者は常にパンアウトしないチャンスを取ることは事実ですが、彼らはまだ多くの場合、成功して、これらのチャンスを取ります。 成功がより多くの質問につながる場合でも、彼らは一般的にそうであるように、それらの質問に取り組むことは、通常、より深い理解につ 少なくとも、私たちの不完全な理解は、私たちが常に答えるべきより多くの質問、解決すべきより多くの問題を抱えていることを意味します。

数学者は他に何を求めることができますか?