Articles

9.3: Cantorin lause ja sen seuraukset

taidot kehittää

  • selittää Cantorin lause

kun Cantor osoitti, että on olemassa kahdenlaisia äärettömyys (countable ja uncountable), seuraava kysymys oli luonnollinen, ”onko kaikki uncountable asetetaan on sama kardinaliteetti?”

aivan kuten kaikki ”ei-koirat” eivät ole kissoja, ei ole suoralta kädeltä mitään syytä uskoa, että kaikkien laskemattomien sarjojen pitäisi olla samankokoisia. Kuitenkin rakentaa lukemattomia sarjaa erikokoisia ei ole niin helppoa kuin se kuulostaa.

esimerkiksi, mitä on sanottava janasta,jota edustaa intervalli \ ( \ ), ja neliöstä, jota edustaa joukko \( × = \{(x, y)|0 ≤ x, y ≤ 1\}\). Varmasti kaksiulotteinen neliö on suurempi ääretön joukko kuin yksi ulotteinen line segmentti. Merkillistä, Cantor osoitti, että nämä kaksi sarjaa olivat sama cardinality. Hänen 1877 kirjeenvaihto tämän tuloksen hänen ystävänsä ja kollega matemaatikko, Richard Dedekindin, jopa Cantor huomautti, ” näen sen, mutta en usko sitä!”

kuva 9.3.1.png

Kuva \(\PageIndex{1}\): Richard Dedekind

Seuraava antaa alkuperäisen käsityksen Cantorin todistuksesta. Cantor kehitti seuraavan funktion \(F:× → \). Ensinnäkin esitämme minkä tahansa pisteen koordinaatit \((x,y) ∈ ×\) niiden desimaaliesityksillä \(x = 0.a_1a_2a_3 …\ ) ja \(y = 0.b_1b_2b_3….\ ) Jopa päättävä desimaali voidaan kirjoittaa tällä tavalla kuin voisimme kirjoittaa \(0.5 = 0.5000….\ ) Voimme määritellä \(f (x, y)\)

\

tämä suhteellisen yksinkertainen ajatus on joitakin teknisiä vaikeuksia se liittyy seuraavaan tulokseen.

liikunta \(\PageIndex{1}\)

harkitse järjestystä \((0.9,0.99,0.999,…)\). Määritä, että tämä jono konvergoi ja itse asiassa se konvergoi \(1\). Tämä viittaa siihen, että \(0,999… = 1\).

vastaavasti meillä on \(0,04999… = 0.05000…\ ) jne. Jotta desimaaliesitys reaaliluku \ ( \ ) ainutlaatuinen, meidän on tehtävä johdonmukainen valinta kirjallisesti päättyvä desimaali kuin yksi, joka päättyy ääretön merkkijono nollia tai ääretön merkkijono yhdeksän . Riippumatta siitä, minkä valinnan teemme, emme voisi koskaan tehdä tätä toimintoa päälle. Esimerkiksi \(109/1100 = 0.09909090…\ ) olisi sen esikuvana \((0.0999…,0.9000…)\), joka olisi yhdistelmä näistä kahdesta yleissopimuksesta.

Cantor pystyi voittamaan tämän muotoseikan osoittaakseen yksi yhteen-vastaavuuden, mutta sen sijaan huomaamme, että kummassakin konventiossa funktio on yksi yhteen, joten tämän mukaan joukko \(×\) on sama kardinaalisuus kuin jokin \(\mathbb{R}\): n osajoukko. Siihen, että tällä on sama kardinaalisuus kuin \(\mathbb{R}\), palaamme asiaan. Mutta ensin yritämme rakentaa lukemattoman joukon, jolla ei ole samaa kardinaalisuutta kuin \(\mathbb{R}\). Tämän ongelman ratkaisemiseksi Cantor todisti vuonna 1891 seuraavaa.

Lause \(\PageIndex{1}\): Cantorin lause

olkoon \(s\) mikä tahansa joukko. Silloin \(s\): n ja \(P(S)\): n kaikkien osajoukkojen joukon \(S\) välillä ei ole yhden ja yhden välistä vastaavuutta.

koska \(S\) voidaan laittaa yksi yhteen-vastaavuuteen \(P (s) (a → \{a\})\) osajoukon kanssa, tämä tarkoittaa, että \(P(S)\) on vähintään yhtä suuri kuin \(S\). Äärellisessä tapauksessa \(/P (S)|\) on ehdottomasti suurempi kuin \(|S/\), kuten seuraava ongelma osoittaa. Se osoittaa myös, miksi \(P (S)\) kutsutaan potenssijoukoksi \(s\).

Liikunta \(\PageIndex{2}\)

Todista: Jos \(/S / = n\), niin \(|P(s)| = 2n\)

Vihje

olkoon \(S = a_1, a_2,…, a_n\). Tarkastellaan seuraavaa vastaavuutta \(P(S)\): n elementtien ja \(t\) kaikkien \(n\)-tuplien välillä kyllä (\(Y\)) tai ei (\(N\)):

\

kuinka monta elementtiä on \(T\)?

harjoitus \(\PageIndex{3}\)

Todista Cantorin lause.

Vihje

oleta ristiriidasta, että on olemassa yksi yhteen-vastaavuus \(f: S → P(s)\). Tarkastellaan \(a = \{x ∈ S / x \not {∈} f (x)\}\). Koska \(f\) on onto, niin on \(a ∈ a\) sellainen, että \(A = f (a)\). Onko \(A ∈ A\) vai onko \(a \not {∈} a\)?

itse asiassa käy ilmi, että \(\mathbb{R}\) ja \(P(\mathbb{N})\) on sama kardinaalisuus. Tämä voidaan nähdä kiertoteitse käyttämällä joitakin yllä olevia ideoita harjoituksesta \(\PageIndex{2}\). Olkoon \(t\) kaikkien nollien tai ykkösten jonojen joukko (voit käyttää \(Y\)S: ää tai \(N\)S: ää, jos haluat). Silloin on suoraviivaista nähdä, että \(T\) ja \(P (\mathbb{N})\) on sama kardinaalisuus.

jos tarkastellaan \((0,1]\), jolla on sama kardinaalisuus kuin \(\mathbb{R}\), voidaan nähdä, että tälläkin on sama kardinaalisuus kuin \(t\). Erityisesti, jos ajattelemme lukuja binäärissä, jokainen reaaliluku \ ( \ ) voidaan kirjoittaa \(\sum_{j=1}^{\infty } \frac{a_j}{2^j} = (a_1, a_2, \cdots )\) missä \(a_j ∈ \{0,1\}\). Meidän on otettava huomioon, että binääriesitykset kuten \(0.0111…\ ) ja \(0,1000…\ ) edustavat samaa reaalilukua (sanotaan, että yksikään representaatio ei pääty äärettömään jonoon nollia), niin voimme nähdä, että \ ( \ ) on sama kardinaalisuus kuin \(T – U\), missä \(U\) on kaikkien jonojen joukko, joka päättyy äärettömään jonoon nollia. On käynyt ilmi, että \(U\) itsessään on laskettavissa joukko.

liikunta \(\PageIndex{4}\)

olkoon \(U_n = \{(a_1, a_2, a_3,…) | a_j ∈ \{0,1\}\) ja \(a_{n+1} = a_{n+2} = ··· = 0\}\). Näytä, että jokaiselle \(n\), \(U_n\) on äärellinen ja käytä tätä päättelemään, että \(U\) on numeroituvasti ääretön.

seuraavat kaksi ongelmaa osoittavat, että numeroituvan joukon poistaminen laskemattomasta joukosta ei muuta sen kardinaalisuutta.

liikunta \(\PageIndex{5}\)

olkoon \(s\) ääretön joukko. Todista, että \(S\) sisältää countably ääretön osajoukko.

harjoitus \(\PageIndex{6}\)

Oletetaan, että \(X\) on lukematon joukko ja \(Y ⊂ X\) on numeroituvasti ääretön. Todista, että \(X\) ja \(X-Y\) on sama cardinality.

Vihje

Let \(Y = Y_0\). Jos \(X-Y_0\) on ääretön joukko, niin edellisen ongelman mukaan se sisältää numeroituvasti äärettömän joukon \(Y_1\). Samoin jos \(X – (Y_0 ∪ Y_1)\) on ääretön, se sisältää myös äärettömän joukon \(Y_2\). Jälleen, jos \(X – (Y_0 ∪ Y_1 ∪ Y_2)\) on ääretön joukko, se sisältää äärettömän joukon \(Y_3\) jne. For \(n = 1,2,3,…,\) olkoon \(f_n: Y_{n-1} → Y_n\) yksi yhteen-vastaavuus ja määrittäköön \(F: X → X – Y\)

\

Näytä, että \(f\) on yksi yhteen ja päälle.

edellä mainitut ongelmat sanovat, että \(R\), \(T – U\), \(T\) ja \(P (n)\) kaikilla on sama kardinaalisuus.

kuten aiemmin todettiin, Cantorin työ äärettömien sarjojen parissa vaikutti syvällisesti matematiikkaan kahdennenkymmenennen vuosisadan alussa. Esimerkiksi Cantorin lauseen todistusta tutkiessaan arvostettu loogikko Bertrand Russell laati kuuluisan paradoksinsa vuonna 1901. Ennen tätä aikaa sarjaa pidettiin naiivisti vain esinekokoelmana. Kautta työn Cantor ja muut, asetetaan oli tulossa keskeinen tutkimuskohde matematiikan kuten monet matemaattisia käsitteitä oli muotoiltu uudelleen kannalta asetetaan. Ajatuksena oli, että joukko-oppi olisi yhdistävä teema matematiikassa. Tämä paradoksi asettaa matemaattinen maailma sen korvaan.

Russellin paradoksi

tarkastelee kaikkien sellaisten joukkojen joukkoa, jotka eivät ole osia itsestään. Kutsumme tätä joukoksi \(D\) ja kysymme: ”onko \(D ∈ D\)?”Symbolisesti tämä joukko on

\

jos \(D ∈ D\), niin määritelmän mukaan \(D \not {∈} d\). Jos D 6∈ D, niin määritelmän mukaan \(D ∈ D\).

jos katsotaan Cantorin lauseen todistusta taaksepäin, tämä oli pohjimmiltaan ajatus, joka antoi meille ristiriidan. Tällaisen ristiriidan syntyminen matematiikan perustasolla oli pöyristyttävää. Se pakotti useita matemaatikot ja loogikot huolellisesti suunnitella aksioomat, joilla asetetaan voitaisiin rakentaa. Ollakseni rehellinen, useimmat matemaatikot edelleen lähestyä joukko-oppi naiivi näkökulmasta, koska asetetaan olemme tyypillisesti käsitellä kuuluvat luokkaan, mitä kutsuisimme ” normaali asetetaan.”Itse asiassa tällaista lähestymistapaa kutsutaan virallisesti naiiviksi joukko-teoriaksi (erotuksena Aksiomaattisesta joukko-teoriasta). Yritykset asettaa joukko-oppi ja logiikka vakaalle pohjalle johtivat kuitenkin symbolisen logiikan moderniin tutkimukseen ja lopulta tietokone – (kone) logiikan suunnitteluun.

toinen paikka, jossa Cantorin työllä oli syvällinen vaikutus moderniin logiikkaan, tulee jostain, mihin viittasimme aiemmin. Osoitimme ennen, että yksikön neliö \ ( × \ ) oli sama kardinaalisuus kuin uncountable osajoukko \(\mathbb{R}\). Itse asiassa Cantor osoitti, että yksikön neliö oli sama kardinaalisuus kuin \(\mathbb{R}\) itse ja siirrettiin etenemään seuraavat vuonna 1878.

konjektuuri (Kontinuumihypoteesi)

jokaisella \(\mathbb{R}\): n laskemattomalla osajoukolla on sama kardinaalisuus kuin \(\mathbb{R}\).

Cantor ei kyennyt todistamaan tai kumoamaan tätä otaksumaa (kuten kaikki muutkin matemaatikot). Itse asiassa, todistaa tai vääräksi tämän otaksuma, joka oli nimeltään Continuum hypoteesi, oli yksi Hilbert ’ s kuuluisa \(23\) ongelmia esitetty haaste matemaatikot International Congress of matemaatikot vuonna 1900.

koska \(\mathbb{R}\) on sama kardinaalisuus kuin \(P(n)\), niin Kontinuumihypoteesi yleistettiin:

konjektuuri (yleistetty Kontinuumihypoteesi)

kun otetaan huomioon ääretön joukko \(s\), ei ole olemassa ääretöntä joukkoa, jolla olisi kardinaalisuus tiukasti \(s\): n ja sen potenssijoukon \(P(S)\) välillä.

yritykset todistaa tai kumota tämä olivat turhia ja hyvästä syystä. Loogikko Kurt Gödel osoitti vuonna 1940, että kontinuumihypoteesia ei voitu osoittaa vääräksi joukko-opin 1 zermelon-Fraenkelin aksioomista. Vuonna 1963 Paul Cohen osoitti, ettei kontinuumihypoteesia voitu todistaa zermelon-Fraenkelin aksioomien avulla. Toisin sanoen Zermelon-Fraenkelin aksioomat eivät sisällä riittävästi tietoa hypoteesin todenperäisyyden määrittämiseksi.

olemme valmiita veikkaamaan, että tässä vaiheessa pää saattaa uiskennella vähän epävarmuudella. Jos näin on, niin tiedä, että nämä ovat samoja tunteita, että matemaattinen yhteisö kokenut puolivälissä kahdennenkymmenennen vuosisadan. Aiemmin matematiikkaa pidettiin loogisen varmuuden mallina. On hämmentävää huomata, että on olemassa lausuntoja, jotka ovat ”epävarmoja.”Itse asiassa Gödel todisti vuonna 1931, että johdonmukainen äärellinen aksioomajärjestelmä, joka sisälsi aritmetiikan aksioomat, sisältäisi aina epävarmoja väittämiä, joita ei voitu todistaa todeksi eikä epätosiksi noilla aksioomilla. Matemaattinen tietämys olisi aina puutteellista.

 kuva 9.3.2.png

Kuva \(\PageIndex{2}\): Kurt Gödel

joten yrittämällä laittaa laskennan perusteet vakaalle pohjalle olemme tulleet pisteeseen, jossa emme voi koskaan saada matemaattista varmuutta. Merkitseekö tämä sitä, että meidän pitäisi nostaa kätemme ja myöntää tappio? Pitäisikö meidän lamaantua pelosta yrittää mitään? Ei suinkaan! Kuten edellä mainittiin, useimmat matemaatikot tekevät hyvin ottamalla pragmaattinen lähestymistapa: käyttämällä niiden matematiikan ratkaista ongelmia, että he kohtaavat. Itse asiassa, se on tyypillisesti ongelmia, jotka motivoivat matematiikkaa. On totta, että matemaatikot ottaa riskejä, jotka eivät aina pan out, mutta he silti ottaa nämä mahdollisuudet, usein menestys. Vaikka onnistumiset johtaisivat useampiin kysymyksiin, kuten ne yleensä tekevät, noihin kysymyksiin vastaaminen johtaa yleensä syvempään ymmärrykseen. Vajavainen ymmärryksemme merkitsee vähintäänkin sitä, että meillä on aina enemmän kysymyksiä vastattavana, enemmän ongelmia ratkaistavana.

mitä muuta matemaatikko voisi pyytää?